今天我们这里要讲第一个有监督学习算法,他可以用于一个回归任务,这个算法叫做 线性回归
假设存在如下 m
组房价数据:
面积(m^2) | 价格(万元) |
---|---|
82.35 | 193 |
65.00 | 213 |
114.20 | 255 |
75.08 | 128 |
75.84 | 223 |
… | … |
通过上面的数据,可以做出如下一个图。横坐标是 面积(m^2)
,纵坐标是 价格(万元)
:
那么问题来了,给你这样一组数据,或者给你这样一个训练数据的集合,能否预测房屋的面积大小和房价之间的关系?
存在如下符号假设:
m 为训练数据 x 为输入特征,即房子的大小 y 为输出结果,即房子的价格 (x, y) 为一个样本,即表格中一行代表一个训练样本 $(x^{(i)}, y^{(i)})$ 为第 i 个训练样本
在监督学习中,我们一般会这样做:
- 首先找到一个训练集合
- 提供样本 m 给算法构建学习函数
- 算法会生成一个学习函数,用 $h(x)$ 表示
- 给学习函数提供足够的样本$x$,由此输出结果$y$
学习函数
训练函数
为了设计学习算法(学习函数),假设存在如下函数:
\[h(x)=\theta_0+\theta_1x\]其中 $x$ 是一个输入函数,这里代表输入的面积(m^2),$h(x)$ 是一个输出函数,这里代表 输出的价格(万元),$\theta$ 是函数的参数,是需要根据样本学习的参数。对于如上的学习函数只是一个简单的二元一次方程,只需要两组样本 $(x_0,y_0),(x_1,y_1)$ 就能将 $\theta_0,\theta_1$ 学习出来,这是一个很简单的函数,但是这样在实际情况中并非很合理。
但是影响房子价格的因素不仅仅是房子的大小。除了房子的大小之外,假设这里还知道每个房子的房间数量:
面积(m^2) | 房间(个) | 价格(万元) |
---|---|---|
82.35 | 2 | 193 |
65.00 | 2 | 213 |
114.20 | 3 | 255 |
75.08 | 2 | 128 |
75.84 | 2 | 223 |
… | … | … |
那么我们的训练集合将有第二个特征,$x_1$表示房子的面积(m^2),$x_2$表示房子的房间(个),这是学习函数就变成了:
\[h(x)=\theta_0+\theta_1x_1+\theta_2x_2=h_\theta(x)\]$\theta$被称为参数,决定函数中每个特征$x$的影响力(权重)。$h_\theta(x)$ 为参数为 $\theta$ 输入变量为$x$的学习函数。如果令$x_0=1$,那么上述方程可以用求和方式写出,也可以转化为向量方式表示:
\[\begin{split} h_\theta(x)&=\theta_0x_0+\theta_1x_1+\theta_2x_2 \\ &=\sum^2_{i=0}{\theta_ix_i} \\ &=\theta^Tx \\ \end{split}\]假设存在$m$个特征$x$,那么上述公式求和可以改成:
\[\begin{split} h_\theta(x)&=\sum^m_{i=0}{\theta_ix_i} \\ &=\theta^Tx \\ \end{split}\]在拥有足够多的训练数据,例如上面的房价数据,怎么选择(学习)出参数$\theta$出来?一个合理的方式是使学习函数$h_\theta(x)$ 学习出来的预测值无限接近实际房价值 $y$。假设单个样本误差表示为:
\[j(\theta)=\frac{1}{2}(h_\theta(x^{(i)})-y^{(i)})^2\]我们把 $j(\theta)$ 叫做单个样本的误差。至于为什么前面要乘$\frac{1}{2}$,是为了后面计算方便。
为了表示两者之间的接近程度,我们可以用训练数据中所有样本的误差的和,所以定义了 损失函数 为:
\[\begin{split} J(\theta)&=j_1(\theta)+j_2(\theta)+...+j_m(\theta) \\ &=\frac{1}{2}\sum^m_{i=1}{(h_\theta(x^{(i)})-y^{(i)})^2} \\ \end{split}\]而最终的目的是为了使误差和 $min(J(\theta))$ 最小,这里会使用一个搜索算法来选取 $\theta$ 使其误差和无限逼近 $J(\theta)$ 最小,其流程是:
- 初始化一组向量 $\vec{\theta}=\vec{0}$
- 不断改变 $\theta$ 的值使其 $J(\theta)$ 不断减小
- 直到取得 $J(\theta)$ 最小值,活得得到最优的参数向量 $\vec{\theta}$
该搜索算法为 梯度下降,算法的思想是这样的,下图看到显示了一个图形和坐标轴,图像的高度表示误差和 $J(\theta)$,而下面的两条坐标表示不同的参数 $\theta$ ,这里为了方便看图只是显示了 $\theta_0$ 和 $\theta_1$ ,即变化参数 $\theta_0$ 和 $\theta_1$ 使其误差和 $J(\theta)$ 在最低点,即最小值。
首先随机选取一个点 $\vec{\theta}$ ,它可能是 $\vec{0}$ ,也可能是随机的其他向量。最开始的 + 字符号表示开始,搜索使其 $J(\theta)$ 下降速度最快的方向,然后迈出一步。到了新的位置后,再次搜索下降速度最快的方向,然后一步一步搜索下降,梯度下降算法是这样工作的:
梯度下降的核心就在于每次更新 $\theta$ 的值,公式为:
\[\theta_j:=\theta_j-\alpha\frac{\partial J(\theta)}{\partial\theta_j}\tag{1}\]上面公式代表:$\theta_j$ 每次都按照一定的 学习速率 $\alpha$ 搜索使误差和 $J(\theta)$ 下降最快的方向更新自身的值。而 $\frac{\partial J(\theta)}{\partial\theta_j}$ 是 $J(\theta)$ 的偏导值,求偏导得到极值即是下降最快的方向。假设在房价的例子中,只存在一组训练数据 $(x,y)$,那么可以推导如下公式:
\[\begin{split} \frac{\partial J(\theta)}{\partial\theta_j}&=\frac{\partial}{\partial\theta_j}\frac{1}{2}(h_{\theta}(x)-y)^2 \\ &=2\frac{1}{2}(h_{\theta}(x)-y)\frac{\partial}{\partial\theta_j}(h_{\theta}(x)-y) \\ &=(h_{\theta}(x)-y)\frac{\partial}{\partial\theta_j}(\sum^m_{i=0}{\theta_ix_i}-y) \\ &=(h_{\theta}(x)-y)\frac{\partial}{\partial\theta_j}(\theta_0x_0+\theta_1x_1+...+\theta_mx_m-y) \\ &=(h_{\theta}(x)-y)x_j \\ \end{split}\tag{2}\]结合 $(1)(2)$ 可以得到:
\[\theta_j:=\theta_j-\alpha(h_{\theta}(x)-y)x_j\tag{3}\]对于存在 $m$ 个训练样本,$(1)$ 转化为:
\[\theta_j:=\theta_j-\sum^m_{i=1}\alpha(h_{\theta}(x^{(i)})-y^{(i)})x_j\tag{4}\]学习速率 $\alpha$ 是梯度下降的速率,$\alpha$ 越大函数收敛得越快,$J(\theta)$ 可能会远离最小值,精度越差;$\alpha$ 越小函数收敛得越慢,$J(\theta)$ 可能会靠近最小值,精度越高。下面就是下降寻找最小值的过程,在右图 $J(\theta)$ 越来越小的时候,左边的线性回归越来准:
选取得到的 150条二手房 数据进行预测和训练,拟合情况如下:
计算损失函数:
# 损失函数
def computeCost(X, y, theta):
inner = np.power(((X * theta.T) - y), 2)
return np.sum(inner) / (2 * len(X))
梯度下降函数为:
# 梯度下降函数
def gradientDescent(X, y, theta, alpha, iters):
temp = np.matrix(np.zeros(theta.shape))
parameters = int(theta.ravel().shape[1])
cost = np.zeros(iters)
for i in range(iters):
error = (X * theta.T) - y
for j in range(parameters):
term = np.multiply(error, X[:, j])
temp[0, j] = theta[0, j] - ((alpha / len(X)) * np.sum(term))
theta = temp
cost[i] = computeCost(X, y, theta)
return theta, cost
训练迭代1000次后得到参数 $\theta$:
# 训练函数
def train_function():
X, y, theta = get_training_dataset()
# 有多少个x就生成多少个theta
theta = np.matrix(np.zeros(X.shape[-1]))
# 查看初始误差
# first_cost=computeCost(X, y, theta)
# print(first_cost)
# 设置参数和步长
alpha = 0.01
iters = 1000
# 训练得到theta和每一次训练的误差
g, cost = gradientDescent(X, y, theta, alpha, iters)
computeCost(X, y, g)
return g, cost
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