在上一篇算法中,线性回归实际上是 连续型 的结果,即 y∈R ,而逻辑回归的 y 是离散型,只能取两个值 y∈0,1,这可以用来处理一些分类的问题。
我们可能会遇到一些分类问题,例如想要划分 鸢尾花 的种类,尝试基于一些特征来判断鸢尾花的品种,或者判断上一篇文章中的房子,在6个月之后能否被卖掉,答案是 是 或者 否,或者一封邮件是否是垃圾邮件。所以这里是 x ,这里是 y 在一个分类问题中,y 只能取两个值0和1,这就是一个二元分类的问题,如下所示:
可以使用线性回归对以上数值进行划分,可以拟合出如下那么一条线,用 y=0.5 作为临界点,如果 x 在这个临界点的右侧,那么 y 的值就是1,如果在临界点的左侧,那么 y 的值就是0,所以确实会有一些人会这么做,用线性回归解决分类问题:
线性回归解决分类问题,有时候它的效果很好,但是通常用线性回归解决像这样的分类问题会是一个很糟糕的主意,加入存在一个额外的训练样本 x=12,如果现在对这个训练集合做线性拟合,那么可能拟合出来那么一条直线:
这时候y的临界点估计已经不太合适了,可以知道线性回归对于分类问题来说,不是一个很好的方法。
假设 hθ(x)∈[0,1],当如果已知 y∈0,1,那么至少应该让假设 hθ(x) 预测出来的值不会比1大太多,也不会比0小太多,所以一般不会选择线性函数作为假设,而是会选择一些稍微不同的函数图像:
g(z)=11+e−zg(z) 被称为 sigmoid函数
,也通常被称为 logistic函数
,它的函数图像是:
当 z 变得非常小的时候,g(x) 会趋向于0,当z变得非常大的时候,g(x) 会趋向于1,它和纵轴相较于0.5。
那么我们的假设hθ(x) 要尝试估计 y∈0,1 的概率,即:
P(y=1|x;θ)=hθ(x)以上可以把两个公式合并简写为(如果y=1那么公式为hθ(x);如果y=0那么公式为1−hθ(x)):
P(y|x;θ)=(hθ(x))y(1−hθ(x))1−y如果对《概率论和数理统计》学得好的人不难看出,以上函数其实就是 伯努利分布 的函数。
对于每一个假设值hθ(x),为了使每一次假设值更准确,即当 y=1 时估计函数 $P(y=1 | x;\theta)=h_\theta(x)趋向于1,当y=0时估计函数P(y=0 | x;\theta)=1-h_\theta(x)趋向于0。则对于每一个(x_i,y_i),参数\theta的似然估计L(\theta)$为: |
如果每一个(xi,yi)都准确,即 $P(y | x;\theta)趋向于1,则应该使似然估计L(\theta)$ 最大化,也就是转化成熟悉的问题:求解 L(θ) 的极大似然估计。 |
为了调整参数 θ 使似然估计 L(θ) 最大化,推导如下(取 log 是为了去掉叠乘方便计算):
l(θ)=logL(θ)=m∑i=1y(i)logh(x(i))+(1−y(i))log(1−h(x(i)))为了使这个函数最大,同样可以使用前面学习过的梯度下降算法使对数似然估计最大化。之前学习的是要使误差和 最小化,所以梯度下降的公式为:
θ:=θ−α∂J(θ)∂θ=>θ:=θ−α∇θJ(θ)而本次为了求解似然估计最大化,使用的是梯度上升:
θ:=θ+α∇θl(θ)=>θ:=θ+α∂l(θ)∂θ对数似然性是和 θ 有关,同样的为了计算 梯度上升 最快的方向,要对上述公式求偏导得到极值,即是上升最快的方向:
∂l(θ)∂θj=(y1g(θTx)−(1−y)11−g(θTx))∂∂θjg(θTx)=(y1g(θTx)−(1−y)11−g(θTx))g(θTx)(1−g(θTx))∂∂θjθTx=(y(1−g(θTx))−(1−y)g(θTx))xj=(y−g(θTx))xj=(y−hθ(x))xj则对于 m 个样本,则有:
∂l(θ)∂θj=m∑i=1(y−hθ(x))xj所以总结来说:
逻辑回归假设数据服从伯努利分布,通过极大化似然函数的方法,运用梯度下降来求解参数,来达到将数据二分类的目的。
为了划分 鸢尾花 的种类,尝试基于一些特征来判断鸢尾花的品种,选取100条鸢尾花数据集如下所示:
花萼长度(单位cm) | 花萼宽度(单位cm) | 种类 |
---|---|---|
5.1 | 3.5 | 0 |
4.9 | 3.0 | 0 |
4.7 | 3.2 | 0 |
7.0 | 3.2 | 1 |
6.4 | 3.2 | 1 |
… | … | … |
其中:
种类 | 含义 |
---|---|
0 | 山鸢尾(setosa) |
1 | 变色鸢尾(versicolor) |
2 | 维吉尼亚鸢尾(virginica) |
数据集的图像分布为:
计算损失函数:
# 损失函数
def computeCost(theta, X, y):
theta = np.matrix(theta)
X = np.matrix(X)
y = np.matrix(y)
first = np.multiply(-y, np.log(sigmoid(X * theta.T)))
second = np.multiply((1 - y), np.log(1 - sigmoid(X * theta.T)))
return np.sum(first - second) / (len(X))
梯度下降函数为:
# 梯度下降
def gradient(theta, X, y):
theta = np.matrix(theta)
X = np.matrix(X)
y = np.matrix(y)
parameters = int(theta.ravel().shape[1])
grad = np.zeros(parameters)
error = sigmoid(X * theta.T) - y
for i in range(parameters):
term = np.multiply(error, X[:, i])
grad[i] = np.sum(term) / len(X)
return grad
最终预测准确率为:
accuracy = 99%
结果分类的图像为:
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